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第二十四章首日竞赛(第2页)

同理,∠MKL=∠APQ。

根据角的相等,得到△MKL∽△APO,从而得到MKML=APAQ

因为K、L、M分别是线段BP、CQ、PQ的中点,所以得到KM=BQ2,LM=CP2,将此带入上式得BQCP=APAQ,将式子转为AP·CP=AQ·BQ。

通过圆幂定理知OP2=OA2-AP·CP=OA2-AQ·BQ=OQ2

所以,得出结论OP=OQ。

秦元清连检查都没有检查,将抽向的数学问题转为图像,这个是他擅长的地方,他有十全的把握证明。

紧接着秦元清看向第三题,“3、S1,S2,S3,......是严格递增的正整数数列,并且它的子数列SS1、SS2、SS3,.....和SS1+1,SS2+1,SS3+1......都是等差数列。

证明:S1,S2,S3......是一个等差数列。”

看着这一题,秦元清微皱起眉头,这一题明显比前面两道题难得多,秦元清将已知条件稍微捋了一下,这一道题融合了等差数列、以及转换法。

秦元清一步一步地展开,通过数列以及子数列都是严格的递增的正整数数列,设Ssk=a+(k-1)d1,SSk+1=b+(k-1)d2(k=1,2......,a、b、d1、d2∈N+)。

将问题转为函数、数列后,以Sk<Sk+1<Sk+1及Sn的单调性,知对任意的正整数k,有SSk<Ssk+1≤SSk+1。

即a+(k-1)d1<b+(k-1)d2≤a+kd1

因此a-b≤(k-1)(d2-d1)≤a+d1-b。

由k的任意性知d2-d1=0,得到d2=d1。

当秦元清写下证明结论,摸了一下额头,发现已经冒汗了,轻轻地吐出一口浊气。

随后秦元清站了起来,做了个交卷的手势。

监考官走到他面前,将他的考卷装入文件袋密封。

秦元清轻松自若的离开考场,毫无压力。

既然作答了,那么就不会有错。

当秦元清离开考场,才知道他是第一个交卷的,华夏奥数队的队员都还没交卷,其他国家的奥数队也都还没有一个交卷。

“首日竞考感觉如何?”

副领队看到秦元清,连忙问道。

“一般般啦,很轻松!”

秦元清潇洒地摆摆手:“还没有集训考试难,放心,42分跑不了!”

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